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有關(guān)抽象函數(shù)的全面探析
摘要：抽象函數(shù)是函數(shù)中的一類綜合性較強(qiáng)的問題。這類問題不僅能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，更能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。
關(guān)鍵詞：抽象函數(shù)；定義域；值域；對稱性
抽象函數(shù)是一種重要的數(shù)學(xué)概念。我們把沒有給出具體解析式，其一般形式為y=f(x)，且無法用數(shù)字和字母的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。由于抽象函數(shù)的問題通常將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖像集于一身。這類問題考查學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力、對一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識以及數(shù)學(xué)的綜合能力。
解決抽象函數(shù)的問題要求學(xué)生基礎(chǔ)知識扎實(shí)、抽象思維能力、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)能力較高。所以近幾年來高考題中不斷出現(xiàn)，在2009年的全國各地高考試題中，抽象函數(shù)遍地開花。但學(xué)生在解決這類問題時常常感到束手無策、力不從心。下面通過例題全面探討抽象函數(shù)主要考查的內(nèi)容及其解法。
一、抽象函數(shù)的定義域
例1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,3]，求出函數(shù)g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a＞0）的定義域。
解析：由由a＞0
知只有當(dāng)0＜a＜1時，不等式組才有解，具體為{x|1+a＜x≤3-a；否則不等式組的解集為空集，這說明當(dāng)且僅當(dāng)0＜a＜1時，g(x)才能是x的函數(shù)，且其定義域?yàn)椋?+a,3-a]。
點(diǎn)評：1.已知f(x)的定義域?yàn)閇a,b]，則f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；2.已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b]，則f(x)的定義域即是g(x)在x[a,b]上的值域。
二、抽象函數(shù)的值域
解決抽象函數(shù)的值域問題——由定義域與對應(yīng)法則決定。
例2若函數(shù)y=f(x+1)的值域?yàn)閇-1，1]求y=(3x+2)的值域。
解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(3x+2)中的定義域與對應(yīng)法則與函數(shù)y=f(x+1)的定義域與對應(yīng)法則完全相同，故函數(shù)y=f(3x+2)的值域也為[-1，1]。
三、抽象函數(shù)的奇偶性
四、抽象函數(shù)的對稱性
例3已知函數(shù)y=f(2x+1)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對稱,則g(x)+ g(-x)的值為（ ）
A、 2 B、 0 C、 1 D、不能確定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函數(shù)為y=，∵ y=f(2x+1) 是奇函數(shù)，∴y=也是奇函數(shù)，∴。∴ ， ，而函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對稱，∴g(x)+ g(-x)=故選A 。
五、抽象函數(shù)的周期性
例4、（2009全國卷Ⅰ理）函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則( )
(A) 是偶函數(shù) (B) 是奇函數(shù)
(C) (D) 是奇函數(shù)
解: ∵與都是奇函數(shù)，，
函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)對稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，，即是奇函數(shù)。故選D
定理1.若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)镽，且滿足條件f (x＋a)=f (x－b)，則y=f (x) 是以T=a＋b為周期的周期函數(shù)。
定理2.若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)镽，且滿足條件f (x＋a)= －f (x－b)，則y=f (x) 是以T=2（a＋b）為周期的周期函數(shù)。
定理3.若函數(shù)y=f (x)的圖像關(guān)于直線 x=a與 x=b （a≠b)對稱，則y=f (x) 是以T=2(b－a)為周期的周期函數(shù)。
定理4.若函數(shù)y=f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（a,0)與點(diǎn)(b,0) , (a≠b)對稱，則y=f (x) 是以 T=2(b－a)為周期的周期函數(shù)。
定理5.若函數(shù)y=f (x)的圖像關(guān)于直線 x=a與 點(diǎn)(b,0),(a≠b)對稱，則y=f (x) 是以 T=4(b－a)為周期的周期函數(shù)。
性質(zhì)1：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x) (a≠b,ab≠0),則函數(shù)f(x)有周期2(a－b)；
性質(zhì)2：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)= － f(a＋x)及f(b－x)=－ f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),則函數(shù)有周期2(a－b).
特別：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期2a.
性質(zhì)3：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)= － f(b＋x) (a≠b,ab≠0)， 則函數(shù)有周期4(a－b).
特別：若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期4a。
從以上例題可以發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)的考查范圍很廣，能力要求較高。但只要對函數(shù)的基本性質(zhì)熟，掌握上述有關(guān)的結(jié)論和類型題相應(yīng)的解法，則會得心應(yīng)手。
參考文獻(xiàn)：
[1]陳誠.抽象函數(shù)問題分類解析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)·，2008(8).
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