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數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育( HPM) 的一個案例-—劉徽的“割圓術(shù)”與微
[摘 要]劉徽的“割圓術(shù)”是中國數(shù)學(xué)史上的重要成就之一,其中包含著中國數(shù)學(xué)家對無限問題的獨特認(rèn)識和致用的處理方式.很多高等數(shù)學(xué)教科書在講述極限概念時大都提及,但所述,并未體現(xiàn)劉徽本意.劉徽的“割圓術(shù)”是為證明圓面積公式而設(shè)計出來的一種方法,其融合了莊、墨兩家理解和處理無限問題的方法,并且使用了數(shù)列極限的“夾逼準(zhǔn)則”和不可分量可積的預(yù)設(shè).通過這些相關(guān)知識的歷史考察,試圖以HPM的方法來輔助解決極限概念教學(xué)的難題.[關(guān)鍵詞]劉徽;割圓術(shù);無限;可積
《高等數(shù)學(xué)》[1]在講授數(shù)列極限概念之前,介紹了我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)中極限思想,進而引入數(shù)列極限的描述定義.實際上,劉徽借“割圓術(shù)”方法,憑借其高超的對無限問題的理解和致用的處理方式,以“不可分量可積”前提、“夾逼準(zhǔn)則”等知識證明了圓的面積公式,運算中包含著微積分的思想.另外要指出的是,他利用證明圓面積公式所設(shè)計出的機械性的算法程序,求得的圓周率的近似值———徽率（157÷50）.郭書春先生認(rèn)為,劉徽在世界上最先把無窮小分割和極限思想用于數(shù)學(xué)證明.[2]
1 劉徽的“割圓術(shù)”
我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》第一章“方田”中有我們現(xiàn)在所熟悉圓面積公式“半周半徑相乘得積步”.魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽為證明這個公式,于公元263年撰寫《九章算術(shù)注》,在這一公式后面寫了一篇長約1800余字的注記———“割圓術(shù)”.
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