淺談齒輪強度設(shè)計幾個問題的探討論文

　　0 引言

　　齒輪傳動是機械傳動中最重要的傳動之一。公元前300 多年，古希臘哲學(xué)家亞里士多德在《機械問題》中，就闡述了用青銅或鑄鐵齒輪傳遞旋轉(zhuǎn)運動的問題。17 世紀(jì)末到18 世紀(jì)初，人們開始對齒輪的強度問題進行研究。歐洲工業(yè)革命以后，齒輪技術(shù)得到高速發(fā)展，齒輪傳動在機械傳動及整個機械領(lǐng)域中的應(yīng)用極其廣泛。齒輪設(shè)計成為機械設(shè)計中重要的設(shè)計內(nèi)容之一。目前國際上比較常見的有關(guān)齒輪強度設(shè)計公式，除了我國的國家標(biāo)準(zhǔn)( GB) 有關(guān)齒輪強度的計算方法以外主要有: 國際標(biāo)準(zhǔn)化組織( ISO) 計算方法; 美國齒輪制造商協(xié)會( AGMA) 標(biāo)準(zhǔn)計算方法;德國工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)( DIN) 計算方法; 日本齒輪工業(yè)會( JGMA)計算方法; 英國BS 計算方法等。作者在從事機械設(shè)計特別對齒輪設(shè)計的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)不少地方的知識點描述比較簡單，不容易理解，為此，在文中對齒輪設(shè)計的幾個問題如齒輪的失效方式、齒輪強度設(shè)計的歷史、現(xiàn)狀進行了深入分析，探討我國齒輪強度設(shè)計的歷史來源以及在齒輪設(shè)計中的一些困惑。通過深入的分析，有助于大家更好地理解齒輪設(shè)計公式的意義和來龍去脈。

　　1 齒輪失效方式的探討

　　齒輪在傳動過程中會出現(xiàn)各種形式的失效，甚至喪失傳動能力。齒輪傳動的失效方式與齒輪的材料、熱處理方式、潤滑條件、載荷大小、載荷變化規(guī)律以及轉(zhuǎn)動速度等有關(guān)。人們對齒輪失效的認識是一個發(fā)展的過程。18 世紀(jì)中葉人們就開始對齒輪的失效進行研究。對齒輪摩擦磨損、點蝕形成和齒面膠合有了初步的認識。1928 年，白金漢發(fā)表了有關(guān)齒輪磨損的論文，并將齒面失效分為點蝕、磨粒磨損、膠合、剝落、擦傷和咬死等6 種失效形式。1939 年，Rideout 將齒輪損傷分為正常磨損、點蝕、剝落、膠合、擦傷、切傷、滾軋和錘擊等8 種形式。1953 年Borsoff 和Sorem 將齒輪損傷分為6 類。1967 年尼曼根據(jù)大量試驗，對漸開線齒輪的4 種失效形式畫出了承載能力的限制關(guān)系圖，并指出當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)速較低時，影響軟齒面齒輪承載能力的主要因素是點蝕，影響硬齒面齒輪承載能力的是斷齒; 而對于高速重載傳動齒輪，影響因素往往是膠合。自上世紀(jì)50 年代以來，一些國家以標(biāo)準(zhǔn)的形式對齒輪損傷形式進行分類，對名詞術(shù)語、表現(xiàn)特征、引發(fā)原因等都有規(guī)定。如1951 年美國將齒輪損傷分為兩大類，一類是齒面損壞，包括磨損、塑性變形、膠合、表面疲勞等，另一類是輪齒的折斷。前一大類齒面損壞是齒輪作為高副由于摩擦學(xué)原因而引起的表面損傷; 后一大類輪齒的折斷是輪齒作為受力構(gòu)件由于體積強度不夠而發(fā)生的破壞。1968 年奧地利國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了齒輪損傷的名詞術(shù)語。

　　1983 年，我國頒布了齒輪輪齒損傷的術(shù)語、特征和原因國家標(biāo)準(zhǔn)( GB /T3481 - 83) ，將齒輪損傷形式分為5 大類，即磨損、齒面疲勞( 包括點蝕和剝落) 、塑性變形、輪齒折斷和其他損傷，共26 種失效形式。1997 年，我國頒布了對GB/T3481 - 1983 修訂的GB/T3481 -1997 國家標(biāo)準(zhǔn)。目前我國在大多數(shù)的機械設(shè)計教材和機械設(shè)計手冊中齒輪失效方式都進行了簡化，一般分為5 大類，即輪齒折斷、齒面疲勞點蝕、齒面膠合、齒面磨損和塑性變形。

　　2 齒輪強度設(shè)計的探討

　　2. 1 輪齒彎曲強度計算

　　1785 年，英國瓦特提出了齒根彎曲強度的計算方法，把輪齒看成為矩形截面的板狀懸臂梁，隨后出現(xiàn)多種彎曲強度計算公式。1893年，路易斯發(fā)表了輪齒彎曲強度計算式，而且用內(nèi)切拋物線法找齒輪的危險截面，這一方法稱為“拋物線法”[12]，如圖1 所示。路易斯以載荷作用于齒頂推導(dǎo)出齒根彎曲應(yīng)力公式，但是對于重合度大于1 小于2 的齒輪傳動，理論上只有當(dāng)單對齒嚙合時，載荷才全部由一個齒承受。對于重合度大于2 小于3 的足夠精密的齒輪，因為同時有2 對以上的齒輪在嚙合，其最大彎曲應(yīng)力的作用點要低。

　　在此之后，又出現(xiàn)30°切線法、尼曼法、白金漢法等。1980 年， ISO 提出“漸開線圓柱齒輪承載能力的基本原理”( ISO 6336 - 1980) ，公布了輪齒彎曲強度、齒面接觸強度的計算方法。

　　過去，我國的齒輪強度計算方法一直比較混亂，沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，對生產(chǎn)、科研以及教學(xué)帶來諸多問題。于是， 1981 年我國成立了“漸開線圓柱齒輪承載能力計算方法”國家標(biāo)準(zhǔn)課題組，以ISO6336—1980為根據(jù)，開展全面的研究工作。1983 年頒布了漸開線圓柱齒輪承載能力計算方法的國家標(biāo)準(zhǔn)( GB /T3480—1983) 。

　　目前，我國有關(guān)齒輪彎曲強度的設(shè)計公式基本上采用30° 切線法，即作與輪齒對稱中心線成30°夾角并與齒根圓角相切的斜線，兩切點的連線是齒根危險截面位置。而且以單對齒嚙合區(qū)的最高點作為最不利載荷作用點，這時產(chǎn)生的彎曲應(yīng)力最大，如圖2 所示。另外，彎曲疲勞強度計算公式中，齒形系數(shù)在許多機械設(shè)計中只是說明與齒數(shù)有關(guān)，與模數(shù)無關(guān)，并未做詳細說明，不容易理解。下面對相關(guān)問題進行詳細分析。如圖2 所示，齒根彎曲應(yīng)力為σF =MW= FnhFcosαFbS2F /6 = 6KFthFcosαFbS2Fcosα= KFtbm6( hFm) cosαF( SFm)2cosα( 1)式中，αF為齒頂圓壓力角。令式( 1) 中的YF =6( hFm) cos αF( SFm)2cos α式中，YF稱為齒形系數(shù)，由路易斯在其輪齒彎曲強度計算式中首次引用�？梢钥闯�，YF是與齒輪形狀的幾何參數(shù)有關(guān)的一個系數(shù)。因為，根據(jù)齒輪形成原理，齒數(shù)的變化將引起輪齒上hF、SF、aF等參數(shù)的變化，由于hF、SF、aF均與齒輪模數(shù)成正比，致使齒形系數(shù)中的模數(shù)可以約去。因此，齒形系數(shù)不受模數(shù)的影響，而只與齒數(shù)有關(guān)，齒數(shù)越多YF越小，反之YF越大。這就是在機械設(shè)計的教材中經(jīng)常會看到“標(biāo)準(zhǔn)齒輪的齒形系數(shù)只與齒數(shù)有關(guān)而與模數(shù)無關(guān)”的原因。

　　2. 2 齒輪壓應(yīng)力對彎曲應(yīng)力的影響

　　根據(jù)30°切線法及齒輪受力分析。將法向力Fn移至輪齒中線并分解成相互垂直的兩個分力，即圓周力Ft和徑向力Fr。根據(jù)力學(xué)理論，F(xiàn)t使齒根產(chǎn)生彎曲應(yīng)力為σF，F(xiàn)r則產(chǎn)生壓應(yīng)力σy。因此齒根危險截面上受到的應(yīng)力為彎曲和壓縮組成的組合應(yīng)力，并導(dǎo)致齒根兩邊的應(yīng)力大小不相等。然而，在相關(guān)的機械設(shè)計資料中都沒有將由于徑向力產(chǎn)生的壓應(yīng)力計算在齒輪的彎曲強度計算公式中，而且在大多數(shù)的相關(guān)教材中都認為: 壓應(yīng)力相對于齒根最大彎曲應(yīng)力比較小，可以忽略不計。但是壓應(yīng)力到底多少，為什么可以忽略不計，很少有人進行計算，下面對壓應(yīng)力與彎曲應(yīng)力進行探討。如圖2 中，F(xiàn)t產(chǎn)生其彎曲應(yīng)力σF如式( 1) 所示。由Fr產(chǎn)生壓應(yīng)力σy為σy = Fnsin αFbSF( 2)由式( 1) 及式( 2) 可得σyσF= SF6hFtan αF設(shè)OD = h'，則SF = 2h' tan30°，因此σyσF= tan 30tan αF3h'hF假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)齒輪模數(shù)為m，齒數(shù)z。則齒頂圓壓力角為cos αF = rbra= zz + 2cos α，由于h'hF< 1，因此，當(dāng)不考慮h'hF的影響時，σyσF的大小取決于齒輪的齒數(shù)。為了便于討論，取ξ = σyσF稱為壓應(yīng)力對彎曲應(yīng)力的影響系數(shù)。則根據(jù)計算可以得到ξ 與齒數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，如圖3 所示。可見，壓應(yīng)力對彎曲應(yīng)力的影響與齒數(shù)有關(guān)，而模數(shù)無關(guān)，而且隨著齒數(shù)的變化而變化，齒數(shù)越少其影響越大，反之影響就越小，最終趨于一水平線。最小約為最大彎曲應(yīng)力的8%，特別當(dāng)h'hF< 1 時，壓應(yīng)力更小，可以忽略不計。這就是為了簡化計算，在計算輪齒彎曲強度時一般只考慮彎曲應(yīng)力的原因。從圖2 可知，彎曲應(yīng)力分為拉伸側(cè)的拉應(yīng)力和壓縮側(cè)的壓應(yīng)力。實際證明，拉伸側(cè)是危險側(cè)，因拉伸側(cè)的裂紋擴展速度較大。壓縮側(cè)有時雖裂紋出現(xiàn)較早，但發(fā)展速度較慢。所以大多數(shù)的公式以拉伸側(cè)的應(yīng)力作為設(shè)計時的計算應(yīng)力。而且根據(jù)齒輪彎曲疲勞實驗分析證明，考慮彎曲應(yīng)力、壓應(yīng)力與只考慮彎曲應(yīng)力的結(jié)果，實際上沒有多大差別。因此，在齒輪彎曲疲勞強度計算中只考慮彎曲應(yīng)力。

　　2. 3 齒面接觸疲勞強度計算

　　圖4 赫茲接觸應(yīng)力模型齒面接觸疲勞強度計算是針對齒輪齒面疲勞點蝕失效進行計算的強度計算。1881 年，赫茲提出兩個圓柱體接觸時接觸面上載荷分布公式，該式作為齒面強度計算的理論基礎(chǔ)，如圖4 所示。根據(jù)赫茲接觸應(yīng)力理論，在載荷作用下接觸區(qū)產(chǎn)生的最大接觸應(yīng)力為σH = Fnπb·1ρ1± 1ρ21 - μ21E1+ 1 - μ22槡 E2( 3)式中，F(xiàn)n為作用在圓柱體上的載荷; b 為接觸長度;μ1、μ2分別為兩圓柱體材料的泊松比; E1、E2為兩圓柱體材料的彈性模量。ρ1、ρ2為兩圓柱體接觸處的半徑，式中“+”號用于外接觸，“-”號用于內(nèi)接觸。1898 年，拉塞根據(jù)法向力應(yīng)用“壓強”原理研究齒面的接觸疲勞強度問題。1908 年，奧地利的維德基將赫茲的兩個圓柱體的接觸應(yīng)力理論應(yīng)用于計算輪齒齒面應(yīng)力，并繪出了沿嚙合線最大接觸應(yīng)力變化圖。1932 年，英國BS 根據(jù)實驗數(shù)據(jù)提出基礎(chǔ)表面應(yīng)力作為齒面強度計算方法。1940 年，美國AGMA 采用齒面強度最重負荷點的接觸應(yīng)力最大值計算方法。

　　1949 年，白金漢提出節(jié)圓上齒面接觸應(yīng)力不超過許用值的計算方法，后來該方法被許多計算方法所采用。1954 年，尼曼采用最大負荷點上滾動壓力。至今，我國皆以赫茲公式作為計算齒面接觸疲勞強度的理論基礎(chǔ)，即以赫茲應(yīng)力作為點蝕的判斷指標(biāo)。通常令1ρΣ= 1ρ1± 1ρ2，ρΣ稱為綜合曲率，對于標(biāo)準(zhǔn)齒輪，1ρΣ= 2d1 sin αi ± 1i 。并令式( 3 ) 中的ZE =1π 1 - μ21E1+ 1 - μ22E 槡為彈性影響系數(shù)。從而，獲得漸開線直齒圓柱齒輪接觸疲勞強度的基本公式為σH = ZEZH2KT1bd21i ± 1槡 i #[ σ ] H( 4) 式中，ZH = 2槡sin αcos α，稱為區(qū)域系數(shù)，對于壓力角α= 20°的標(biāo)準(zhǔn)齒輪，ZH≈2. 5。在機械設(shè)計手冊或機械設(shè)計教材中，有關(guān)齒輪接觸疲勞強度公式有很多版本，其中最常見的是將一對鋼制標(biāo)準(zhǔn)齒輪齒面接觸強度校核公式進行簡化，取鋼制齒輪的E1 = E2 =2. 06 ×105MPa，μ1 =μ2 =0. 3，便獲得機械設(shè)計中常用的校核公式。σH = 671 KT1bd21i ± 1槡 i ≤[ σ ] H( 5)

　　2. 4 齒面膠合強度計算

　　齒輪另外一個常見的失效是齒面膠合。有關(guān)齒輪膠合比較統(tǒng)一的說法是: 相互嚙合的兩金屬齒面，在一定的壓力下直接接觸發(fā)生黏著，同時又隨著齒面運動而使金屬從齒面上撕落而引起的黏著磨損現(xiàn)象。膠合分為冷膠合和熱膠合。對于高速重載的齒輪傳動，齒面瞬時溫度較高，相對滑動速度較大，則容易發(fā)生熱膠合。對于低速重載的重型齒輪傳動，由于齒面間壓力過大，導(dǎo)致齒面油膜被破壞，盡管齒面溫度不高，但也容易產(chǎn)生膠合，稱為冷膠合。

　　對于齒輪齒面膠合強度計算的研究，目前主要基于兩種理論，一是基于Pv 值( 壓力與速度的乘積) 或PTv ( T 為嚙合點到節(jié)點的距離) 值作為計算膠合的指標(biāo)。另一種是以齒面溫度作為判定膠合的準(zhǔn)則的布洛克算法。1975 年，溫特提出積分溫度法�，F(xiàn)在ISO 的標(biāo)準(zhǔn)中主要以這兩種方法為主。2003年，我國頒布“圓柱齒輪、錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪膠合承載能力計算方法”國家標(biāo)準(zhǔn)( GB - Z 6413. 1 - 2003和GB - Z 6413. 2 - 2003)。該標(biāo)準(zhǔn)等同采用了ISO/TR 13989 - 2000“圓柱齒輪、錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪膠合承載能力計算方法”。曾經(jīng)有人試圖以按彈性流體動力潤滑理論計算齒面間的油膜厚度作為膠合的評判依據(jù)。

　　我國多數(shù)的機械設(shè)計教材中齒輪強度設(shè)計一般只提供齒面接觸疲勞強度和齒根彎曲疲勞強度兩種計算方法，并未提供有關(guān)齒面膠合的強度計算公式。

　　3 結(jié)束語

　　文中分別對機械設(shè)計教學(xué)中有關(guān)齒輪的強度設(shè)計問題進行了分析和探討，詳細解讀我國齒輪強度設(shè)計的歷史沿革及現(xiàn)狀，以及齒輪強度設(shè)計計算過程中讓人困惑的問題及解決方法。研究指出，在齒輪彎曲疲勞強度的計算中，壓應(yīng)力對彎曲應(yīng)力的影響是有限的，一般可忽略不計，只有當(dāng)需要精確計算時，應(yīng)當(dāng)考慮其影響。論文的研究可以幫助齒輪設(shè)計人員和學(xué)生更好地理解齒輪設(shè)計中的相關(guān)內(nèi)容，為將來從事機械設(shè)計工作打下良好的基礎(chǔ)。

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